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Sin
embargo, la médula de la propuesta de Polya es el ya famoso “método
de cuatro pasos para resolver problemas”. Si bien la comunidad matemática
lo conoce con ese nombre, más que una metodología de enseñanza y
aprendizaje, es en realidad un paradigma.
Se
trata de un proceso dialógico de pregunta y respuesta que posibilita el
descubrimiento de alternativas para la solución de un problema. Un
desarrollo heurístico que permite al estudiante reconocer indicios;
identificar patrones, explorar coyunturas, probar rutas que conduzcan
soluciones plausibles; en fin, asumir riesgos que lo lleven a puerto
seguro. Ciertamente, más que una técnica o procedimiento, es una
actitud mental ante los problemas. El interés no se centra en que el
alumno entienda la teoría: debe comprender cómo fue descubierta.
Polya
formula cuatro estadios: 1) Comprender el problema, 2) Concebir un plan,
3) Ejecutar el plan y 4) Examinar la solución obtenida.
Por
supuesto que antes de atacar cualquier problema debe de reconocerse que
existe. En otras palabras ¿a qué llamamos un problema? Cuestión
espinosa. Abundan las aproximaciones; pero resulta más fácil
establecer lo que no es un problema. No obstante, se acepta en lo
general que un problema debe satisfacer los siguientes requisitos: Aceptación, debe aceptarse
como tal; existir un compromiso de resolverlo, ya por motivos internos o
externos; Bloqueo,
no funcionan ni los intentos iniciales ni las técnicas habituales; Exploración,
búsqueda de nuevos métodos para atacar el problema.
Otra
forma de caracterizar los problemas es comparándolos con los
ejercicios. Un ejercicio se resuelve aplicando un algoritmo. La destreza
se basa en la memoria. ¿Se recuerda el algoritmo? Entonces se puede
resolver; de otra forma no. En cambio, en los problemas no es evidente
el camino a seguir, puede haber varios. Hay que apelar a conocimientos
dispersos, no necesariamente matemáticos; relacionar saberes distintos,
establecer nuevas relaciones.
Con
estas ideas entremos al primer estadio: comprender
el problema. Entender el problema, según Polya es apropiárnoslo:
hacerlo nuestro de tal manera que bien podamos desatenderlo momentáneamente
y volver a él sin perder la esencia; concretarlo en tan pocas palabras
que seamos capaces de reformularlo de manera distinta sin modificar la
idea. Por supuesto, para lograrlo es necesario aprehender su enunciado
verbal. Preguntas indispensables: ¿cuál es la incógnita?; ¿cuáles
los datos?; ¿cuál la conclusión?… ¿qué relación hay entre la incógnita
y los datos? Sin duda, trazar un dibujo, un esquema, ayuda a la
comprensión.
Concepción
de un plan. El sendero que va de la comprensión del
problema a la concepción del plan puede ser prolongado y escabroso. No
obstante, se trata de la columna vertebral del proceso de solución. El
plan puede ir fraguándose, tomando forma después de una serie de
ensayos aparentemente estériles, hasta que de súbito surge la idea
brillante. La tarea principal del profesor es conducir al alumno en esta
búsqueda intensa. Mas las ideas no vienen por generación espontánea:
se basan en la experiencia pasada y en los conocimientos adquiridos
previamente, como problemas resueltos, teoremas demostrados, axiomas en
el almacén de nuestra memoria…; en buenos hábitos de pensamiento, de
concentración… y hasta en la suerte. Para este estadio el autor
sugiere concentrarse en cuestiones como: “mire bien la incógnita.
Trate de pensar en algún problema que le sea familiar y que tenga la
misma incógnita o similar”; “he aquí un problema relacionado con
el suyo y ya resuelto. ¿Puede usted hacer uso de él?”; “¿puede
enunciar el problema en forma distinta?”; “si no puede resolver el
problema propuesto, trate de resolver primero alguno relacionado con él?”…
Ejecución
del plan. Levantado el plan, esto es: la idea general
de los razonamientos y construcciones que habremos de efectuar para
determinar la incógnita, procederemos ahora a llevarlo a cabo. Aquí la
paciencia es la mejor aliada. Examinar a cabalidad que cada pieza embone
perfectamente; la exactitud de todo razonamiento; la claridad de toda
operación… Que no quede un solo rincón oscuro en donde pueda
agazaparse algún error. Las preguntas que iluminan el trabajo heurístico
en esta fase pueden ser: “¿ya verificó cada paso del plan?”, “¿ya
consideró la interconexión entre ellos?”, “¿puede ver con
claridad que el paso es correcto?”, “¿puede demostrarlo?”…
Desde luego, debe realizar cada etapa del plan una vez terminado el
escrutinio o de manera simultánea.
Examen
de la solución. En otras palabras: se trata de una
visión retrospectiva del trabajo efectuado en las etapas anteriores.
Con mucha frecuencia el alumno menosprecia o ignora la importancia de
este paso. Sin embargo, es de suma trascendencia; una suerte de digestión:
asimilará lo esencial y eliminará lo superfluo. Con esta reconsideración
de la solución y el camino que condujo hacia ella se consolidan los
conocimientos y se desarrolla la aptitud para resolver problemas. Pese a
haber concluido el plan con la pulcritud y precisión indicada, conviene
reexaminarlo en busca de posibles errores, procedimientos redundantes,
operaciones inútiles… “¿puede comprobar el resultado?”, “¿y
el razonamiento?”, “¿algún modo distinto de obtener el
resultado?”, “¿alguna operación innecesaria?”, “¿el método o
el resultado son útiles para algún otro problema?”, “¿empleó
todos los datos?”, “¿qué pasaría si modificamos esta
variable?”…
En
suma, la aportación de George Polya a la enseñanza de las matemáticas
es invaluable y desborda sus propias expectativas. Porque vale no sólo
para los problemas matemáticos, sino para todo problema, sea o no matemático.
Ya lo apuntaba el enorme español Santaló: “enseñar matemáticas
debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas
no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas”. A cada
momento estamos enfrentándonos a ellos. La vida, a fin de cuentas, no
es más que una cadena de situaciones que exigen de nosotros la toma
continua de decisiones. Y decidir es, en esencia, optar por una de las
alternativas que presenta la solución de un problema. Vistas desde este
ángulo, las matemáticas se convierten en un hermoso instrumento que
nos ayuda a vivir.
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